안녕하세요 이두열입니다.

먼저 이론적인 관점에서 답변 드리겠습니다.

수업시간에 말씀드린 대로 우리가 이용하고 있는 parametric VaR 산식은 백분율수익률(arithmetic return)을 기준으로 유도된 공식입니다.

또한 지적하신 바와 같이 백분율수익률은 정규분포를 따른다는 가정을 할 수가 없습니다.

따라서 말씀하신 바와 같이 로그수익률을 이용하여야 합니다.

α에 해당하는 최악의 로그수익률은 μ-zσ이며 이때의 자산가치는 V*exp(μ-zσ)가 됩니다.

이제 현재 시점에서의 자산가치가 V이므로 이 때의 손실금액은 V - V*exp(μ-zσ)이며 이를 정리하면 아래 산식이 됩니다.

VaR = V(1-exp(μ-zσ))

이 공식이 Part 2의 Book 1에 나오는 Lognormal VaR공식이며 이 경우 자산가치가 음수가 되는 VaR값은 산출되지 않습니다.

이제 실무적인 관점에서 설명을 드리겠습니다.

테일러 정리에 따르면 백분율수익률과 로그수익률은 아래와 같은 관계를 만족합니다.

로그수익률 = 백분율수익률 - 0.5 * (백분율수익률)² + 0.3333 * (백분율수익률)³ - ...

즉 수익률의 크기가 작으면 우변의 두번째 항부터의 값들은 매우 작은 값이 되어 두 값의 오차는 무시할 만한 수준이 됩니다.

실무적인 관점에서 일간수익률이 매우 작다는 점을 고려할 때

이는 daily 수익률을 기준으로 두 방법에 따른 수익률간의 오차가 거의 없다는 것을 의미합니다.

또한 시장리스크 관점에서(부도가 없다는 가정 하에) 일간수익률이 -100% 이하가 될 확률은 거의 0이므로 이러한 점도 크게 문제가 되지 않습니다.

따라서 실무적 고려에 의해 로그수익률 대신 백분율수익률이 이용되는 것입니다.

Market VaR 산출에 이용되는 Holding period가 1 ~ 10 day로 매우 단기라는 점을 감안하면 말씀하신 바와 같이 자산가치가 음수가 되는 VaR값은 나오지 않게 됩니다.

따라서 VaR = V(1-exp(μ-zσ)) 라는 복잡한 공식을 VaR = (zσ-μ)*V 라는 간단한 공식으로 대체하고 있는 것입니다.

이 것이 리스크관리시스템을 뜯어봐도 이러한 exponential term을 보실 수 없는 이유입니다.

혹시 이해가 안되시는 부분이 있으시면 다시 질문 주시기 바랍니다.